Hvad signifikante cifre er

I et hvert tal fremkommet som følge af en måling, er et signifikant (betydende) ciffer et, der enten er kendt med sikkerhed eller er blevet anslået. I en korrekt rapporteret måling, er alle tal forskelligt fra nul (nul behandles senere), signifikante. Antag, at du måler volumen af en væske i ”mL” i et måleglas som vist i figur 1.

Figur 1:

Den typiske usikkerhed ved måling af volumen

Forskellige laboratoriearbejdere, vil estimere det endelige ciffer lidt forskelligt; rapporterede værdier, kan for eksempel variere fra 31,71 mL til 31,73 mL. Hvis volumen rapporteres som ”31,72”, kan vi konkludere, at volumen uden tvivl er større end 31,7 men mindre end 31,8, samt mindre end halvvejs mellem disse to værdier. Hvor præcist det ligger imellem dem, er imidlertid tvivlsomt. Der er således fire signifikante cifre i målingen ”31,72”, men det sidste er det mindst pålidelige. Det er sædvane inden for videnskaben, at rapportere en måling således, at det kun er det sidste ciffer der er usikkert.

Signifikante cifre og præcision

Den der måler volumen, kan vælge at afrunde resultatet til ”32”, eller ”31,7” eller kan rapportere det som ”31,72”. Værdien ”32”, er nøjagtig til det nærmeste hele tal, hvilket betyder at den rå måling var mellem 31,5 og 32,5. Tallet ”31,7”, er nøjagtigt ned til den nærmeste tiendedel, hvilket betyder at den rå måling var mellem 31,65 og 31,75. Tallet ”31,72”, er nøjagtig ned til den nærmeste hundrede del, hvilket betyder at den rå måling var mellem 31,715 og 31,725. Bemærk, at ved disse tre værdier, bliver målingen stadig mere præcis, da antallet af decimaler stiger.

Graden af denne præcision, ligger i antallet af betydende cifre værdien har. Værdien ”32” har to betydende cifre, ”31,7” har tre og ”31,72” har fire. Således, som antallet af betydende cifre stiger, går præcisionen af værdien også op. Men hvad betyder det?

Antag, at fire laboratoriearbejdere målte volumen i figur 1.2.1.1 og rapporterede resultaterne (i ”mL”) til at være 31,72, 31,71, 31,72 og 31,73. Den laveste værdi, kommer fra en måling der var mellem 31,705 og 31,715, mens den højeste værdi, 31,73, stammer fra en måling der var mellem 31,725 og 31,735. Derfor starter det mulige område for alle fire målinger rapporteret af laboratoriearbejderne ved 31,705 og slutter ved 31,735. Forskellen er kun 0,030 mL eller 0,09% fra de 31,720, som er midten af dette interval.

Nu antager vi, at laboratoriearbejderne kun havde aflæst volumen til det nærmeste hele tal, dermed ville alle fire rapportere ”32”. Selv om det ved første øjekast, ser ud som om alle laboratoriearbejderne er enige, kan vi dog konkludere at tallet ”32” kunne være opstået fra en volumen mellem 31,5 og 32,5, altså en forskel på 1,0 mL eller 3,1% af 32 hvilket er i midten af dette interval. Som en procentdel, er denne forskel derfor meget højere (33 gange højere), end forskellen i det foregående eksempel.

Resultatet af denne sammenligning, er det faktum, at jo flere betydende cifre der er til stede, desto mindre er forholdet mellem de gentagne målinger (med mindre der selvfølgelig er en der begår en alvorlig fejl). Forholdet mellem gentagne målinger, kaldes præcision. Derimod har antallet af betydende cifre ingen indflydelse på om en værdi er korrekt eller ukorrekt, de er nøjagtigheden, da producenten af måleglasset i figur 1.2.1.1, kunne have fejlagtigt have angivet ”32” i stedet for ”31”. Var dette tilfældet, ville de fire laboratoriearbejdere stadig have aflæst volumen som de gjorde. Deres aflæsning ville selvfølgelig have været forkert, med stadig tæt på hinanden.

Signifikansen af nuller

Tal, der indeholder nuller, rejser spørgsmål der kræver mere eftertanke. Lad os fokusere på de tre kategorier af nul, der er klassificeret efter dette plads inde i tallet. Tabel 1. opsummerer betydningen af nullerne.

Tabel 1 – Signifikansen af nuller

Efterstillet nul

Et efterstillet nul, er et nul der følger efter det sidste ciffer i et tal der er forskelligt fra nul. Et multiplum af 10, som for eksempel tallet ”80” er tvetydigt, fordi vi ikke ved om det repræsenterer en afrunding til nærmeste hele tal, eller til nærmeste 10. Med andre ord, kunne den rå måling i dette tilfælde have være ”79,8, afrundet til det nærmeste hele tal, eller du kunne have være ”83”, afrundet til den nærmeste 10’er. Da tallet ”80” i sig selv ikke skelner mellem disse to muligheder, er nullet usikkert og det er ikke blevet skønnet i målingen. Det er derfor ikke signifikant og ”80” har derfor kun et signifikant ciffer; nul tjener kun til indikation af skalaen.

Der er imidlertid en måde, hvorpå man kan fjerne flertydigheden og give mening til nullet. Hvis målingen faktisk var 78,8 afrundet til nærmeste hele tal, så ville et komma fjerne al tvivl. I stedet for ”80”, kunne vi skrive ”80,”, hvilket indikerer at den rå måling var mellem 79,5 og 80,5. I tallet ”80,”, er nul vigtigt, fordi det har en vis sikkerhed; således er der nu to signifikante cifre i tallet. Vi kan sige, at det bagerste nul er væsentligt, hvis der er en decimalkomma i tallet.

Ligeledes, skelner tallet ”6700” ikke mellem de tre mulige oprindelser. Den rå måling kunne have været 6700,2 af rundet til nærmeste hele tal. Måske var det 6704 afrundet til nærmeste 10, eller 6681 afrundet til nærmeste 100. Derfor er kun ”6” og ”7” i ”6700” signifikante. Men skriver vi ”6700,”, ville det fortælle os, at målingen var blevet afrundet til nærmeste hele tal og alle fire cifre ville derfor blive signifikante.

En anden måde at fjerne tvetydigheden på, er at angive antallet af signifikante cifre, som for eksempel ”5000 (3 s.c.)”, eller ved at understrege de sidste signifikante nul, som for eksempel ”5000”. Disse konventioner, er imidlertid ikke almindeligt anvendt. En bedre fremgangsmåde, er at erklære usikkerheden direkte. Et eksempel på dette kunne være ”5000 ± 10”.

Som det ses ovenfor, er efterstillede nuller der efterfælges af et decimalkomma, signifikante. Et hvert efterstillet nul, i en talrække der indeholder et decimalkomma, er dog signifikante. Tallet ”80,0” for eksempel, er slet ikke tvetydigt; det fortæller os klart, at den rå måling var mellem 79,95 og 80,05, afrundet til nærmeste tiendedel. Således er hvert nul i ”80,0” signifikant. Ligeledes fortæller tallet ”6700,000” os uden tvivl, at den rå måling var mellem 6999,9995 og 6700,0005, afrundet til nærmeste tusindedel. Derfor er alle nuller i dette tal signifikante.

Foranstillet nul

Et foranstillet nul, er et nul der går forud for det første ciffer forskelligt fra nul i et tal. Tag tallet ”0,0062”. Det er fremkommet på baggrund af en afrunding af en måling mellem 0,00615 og 0,00625, til nærmeste titusindedel. De foranstillede nuller, bidrager intet til præcisionen af selve tallet; de angiver kun skalaen. For at bevise dette, overvej følgende tankegang.

Forskellen mellem toppen og bunden af intervallet 0,00625 og 0,00615 er 0,00010; dette er 1,6% af 0,00620 der er midt i intervallet. Fjern nu de foranstillede nuller (og kommaet) for at få intervallet til at løbe mellem 615 og 625. Forskellen mellem det højeste og laveste er nu t0, men 10 er stadig 1,6% af 620 de er midt i intervallet. Det står derfor klart, at uanset om de foranstillede nuller er til stede eller ej, er forskellen mellem den højeste og laveste værdi, 1,6% af den midterste værdi. De foranstillede nuller er derfor aldrig signifikante. I dette eksempel har tallet ”0,0062” derfor kun to signifikante cifre.

Indlejret nul

Et indlejret nul, er et nul der forekommer et sted mellem to cifre forskelligt fra nul i et tal. Fordi dets værdi er sikker, er et nul der står mellem to signifikant cifre forskellig fra nul, selv signifikant. Tallet ”706” for eksempel, er resultatet af en afrundet måling, der faldt mellem 705,5 og 706,5; nul er signifikant og er ikke engang involveret i afrundingen. Tilsvarende er tallet ”1,0025” resultatet af afrunding af en måling, der faldt mellem 1,00245 og 0,000255. Igen er nullerne entydige i dette tal og er derfor signifikante.