Det er logisk, at kun cifre der er sikre eller er blevet anslået, bør behandles som signifikante. Komplikationen opstår, når man skal beslutte hvor mange signifikante cifre, man skal inkludere i det endelige resultat af en proces, der består af adskillige målinger eller beregninger.

Antag for eksempel, at du forbereder en glucoseopløsning ved (1) at opløse 5 g glucose i vand og (2) fylder volumen op til 100 mL. Det ville være forkert, at rapportere koncentrationen som 5,0000 g/mL. Dette ville indebære en sikkerhed i koncentrationen ud til den nærmeste titusindedel af et gram, selv om massen af glucosen kun er kendt til det nærmeste hele antal gram. Resultatet kan aldrig blive mere sikkert, end de mindst pålidelige målinger der indgik i beregningen.

Betragt en analyse af en analyt i serum, der kræver at du tilfører 220 L reagens A til 11 mL reagens B; resultatet af koncentrationen er nu i ”pg/L” (picogram per liter). En sådan fremgangsmåde kan være ELISA (Enzyme-linked immunosorbent assay), er anvender en 96 brønds mikrotiterplade. Fordi hvert volumen kun har to signifikante cifre, ville det være absurd (og uærligt) at rapportere den endelige koncentration af en analyt i en prøve som værende 386,714 pg/mL. Der er ingen begrundelse for at hævde, at seks cifre kan være pålidelige i koncentrationen, når der kun var to der var signifikante i hver af de volumener der indgik i beregningen.

Hvordan kan man så bestemme, hvor mange signifikante cifre der skal medtages i resultatet af en beregning, elle en serie af beregninger? Efterhånden som man lærer reglerne for ciffersignifikans, så husk at ordet ”regler” faktisk er for stærkt. Det er nærmere retningslinjer, der tjener som genveje til det korrekte antal signifikante cifre, ved at gøre det unødvendigt at foretage detaljeret fejlanalyse for hver beregning du står overfor.

Multiplikation og division

Resultater af en beregning, der kun involverer multiplikation og/eller division, kan have nogle flere signifikante cifre, end der er i den målte mængde med færrest antal signifikante cifre. Betragt følgende to eksempler:

Addition og subtraktion

I additions- eller subtraktionsoperationer, skal det sidste signifikante ciffer i det endelige resultat, have samme plads som det sidste signifikante ciffer i den måling, der har den største usikkerhed. Målingen med den største usikkerhed er den, hvis sidste betydende ciffer er længst til venstre blandt alle de tal der indgår i beregningen. En konsekvens af dette er naturligvis, at antallet af signifikante cifre, kan ændre sig i løbet af en række af additioner eller subtraktioner, i modsætning til multiplikation eller division. Betragt følgende tre eksempler.

Kombinerede operationer

Når en beregning kombinerer operationer (multiplikation, division, addition og subtraktion), gælder reglerne for ciffersignifikans før og efter hvert trin der involverer addition eller subtraktion. Tabel 1. viser hvordan disse regler påvirker afrunding.

Eksempel 1 og 2 i tabel 1 er ligetil. Operationerne omfatter kun addition eller subtraktion og værdierne af x og y tvinger det endelige resultat til at standse ved tre decimaler. I eksempel 3 og 4, indebærer operationerne kun multiplikation og division, hvilket betyder at det endelige resultat ikke kan have flere end to signifikante cifre fordi x kun har to.

I eksempel 5, kombineres operationerne multiplikation og addition. Det første trin er multiplikationen af x og y, der giver 0,314578. Fordi x kun har to signifikante cifre, skal dette produkt afrundes til 0,31 før næste trin. Det adderes herefter til z, som giver 92,1142, der skal afrundes til 92,11 fordi ”0,31” kun har to decimaler.

Eksempel 6 svarer til eksempel 5. Det første trin er multiplikationen af y og z, hvilket giver 365,56432, der skal afrundes til 365,6 fordi værdien af y har fire signifikante cifre. Dette tal adderes med x, hvilket giver 365,7, der kun har en decimal fordi ”365,6” også kun har en.

Eksempel 7 og 8, følger samme logik som eksempel 5 og 6.

Tabel 1 – Eksempler på ciffersignifikans i kombinerede operationer

Undtagelse ved gentagne målinger

Antag at du kvantificerer lægemidler methotrexat i den samme patientprøve fem gange. Resultaterne, i µmol/L er: 63,33, 63,69, 61,563, 63,02 og 61,79. Gennemsnittet af disse fem værdier er:

Husk, i additionsoperationer, skal det sidste signifikante ciffer indtage samme plads i resultatet, som det sidste betydende ciffer i den mest usikre måling, der i dette tilfælde er på hundrededels pladsen:

Herefter dividerer vi med 5 for at få gennemsnittet:

Tallet ”5” i nævneren, er en nøjagtig optælling – ikke et skøn eller en måling; derfor har det ikke betydning for antallet af signifikante cifre i det endelige svar. Men summen i tælleren har fem signifikante cifre og reglen for multiplikation og division kræver i dette tilfælde, at resultatet af beregningerne også har fem signifikante cifre. Hvis vi adlyder denne regel, så er gennemsnittet 62,278. Men fordi hver koncentration kun har fire signifikante cifre, bør gennemsnittet ikke have mere end fire; det kan ikke være mere sikkert, end nogen af målingerne der indgik i beregningen. Det synes derfor korrekt, at rapportere gennemsnittet som 62,28 µmol/L. Men er dette virkelig korrekt?

Bemærk, at de fem koncentrationer, der spænder fra 61,79 til 63,07, ikke kun varierer på tiendedelene og hundrededelene, men også på enerne. Det er ikke forsvarligt at proklamere sikkerheden på hundrededelenes plads (62,28 µmol/L), når det første usikre ciffer i koncentrationerne er på enernes plads. Værdien ”62,28”, betyder at den sande koncentration, ligger mellem 62,275 og 62,284, men der er ikke nogen måde at retfærdiggøre denne konklusion på, med en så bred vifte af individuelle koncentrationer. Som tidligere nævnt, rapporteres målinger sædvanligvis således, at kun det sidste ciffer er usikkert. Derfor skal det korrekt rapporterede gennemsnit af vores fem målinger slutte på enernes plads: 62 µmol/L.

Denne undtagelse ved gentagne målinger, afspejler en fejl i reglerne for ciffersignifikans og vil blive beskrevet i større detalje senere i dette afsnit.