Lad os først se på et simpelt eksempel. Antag at vi har ligningen:

Vi anser x som den uafhængige variabel, fordi det er den vi styrer; med andre ord, vi vælger værdier af x og observerer derefter de resulterende værdier af y. Derfor behandler vi y som den afhængige variabel, fordi dens værdi er bestemt af den værdi, vi vælger for x; med andre ord, y afhænger af x. Tabel 1 lister 10 udvalgte værdier af x og de tilsvarende værdier af y.

Tabel 1 – Tilsvarende værdier for y, for en afhængig og uafhængig variabel

For at få et overblik over, hvordan y ændres med x, konstruerer vi en graf over data (se figur 1), ved at sætte y på den lodrette akse (ordinaten) og x på den vandrette akse (abscissen). Hvert punkt på grafen, repræsenterer et ordnet par tilsvarende (x, y) værdier fra tabel 1.

Figur 1:


En graf over data fra tabel 1 (pink linje), indikerer hvor y-aksen gennemskæres [A] og hældningen [B]

Bemærk, at datapunkterne er placeret således, at vi kan tegne en lige linje igennem dem. På grund af denne egenskab, kalder vi dem for lineære data og vi siger at ligningen, der genererede disse datapunkter (y = 2x + 2), beskriver en lige linje. Følgelig, opfylder ethvert ordnet par på denne linje ligningen, et eksempel herpå er x = 5,5 og y = 13. Bemærk også, at linjen skærer y-aksen ved y = 2, når x = 0 (se figur 1A). Således siger vi, at y-skæringspunktet for denne linje er ”2” og vi symboliserer det som ”b”.

Figur 1B viser en anden egenskab ved vores linje. Bemærk, at for hver ændring på 1 i x, ændres værdien for y med 2. For eksempel ved at gå fra x = 5 til x = 6, går grafen fra y = 12 til y = 14. Således er forholdet mellem ændringen i y til ændringen i x:

Ligeledes forholder det sig, når x går fra x = 2 til x = 9, går grafen fra y = 6 til y = 20. Forholdet mellem ændringen i y og ændringen i x er stadig 2:

For en ret linje, så er forholdet mellem ændringen i y (som vi symboliserer som ) og ændringen i x (som vi symboliserer som ) hældningen af linjen. Vi repræsenterer hældningen som ”m”, det første bogstav i det franske ord ”monter”, der betyder ”at stige”.

Hældningen, sammenligner den vertikale (lodrette) ændring med den horisontale (vandrette) ændring.

I vores ligning, y = 2x + 2, varierer y direkte med x og hældningen er proportionalitetskonstanten. Når x stiger, stiger y proportionelt. Derfor, som tabel 1 og figur 1 viser, er x og y i denne ligning, relateret ved en ret linje. Generelt er ligningen for enhver ret linje:


Hvor m er hældningen og b er skæringspunktet med y-aksen.


Hældningen som forandringsraten

I laboratoriet, som i al videnskab og teknologi, er hældningen signifikant, i det den repræsenterer graden af ændring (forandringsraten). Tag for eksempel afstanden en person der løber, har tilbagelagt på forskellige tidspunkter efter start (tabel 2). Ligesom dataene i tabel 5.2.1, giver disse data en ret linje (se figur 2).

Tabel 2 – Hypotetiske data for en løbende person

Figur 2:


Graf over data i tabel 2

Hældningen af denne linje, , er løberens hastighed, som ganske enkelt er den hastighed, hvormed afstanden (y) ændrer sig med tiden (x). To vilkårlige punkter på linjen, kan anvendes i beregningen.

eller

I laboratoriet, er et typisk eksempel på hældningen som en ændringshastighed, assays der overvåger forekomsten af et reaktionsprodukt som en funktion af tid. Kig på denne kemiske reaktion:

Antag, at det er en del af analysen for en analyt i serum. Instrumentet, der kører dette assay, bestemmer mængden af X (i picomol) der er til stede i reaktionsbeholderen i det øjeblik alle komponenter er ”sat sammen” (tid = nul) og så igen ved hver af seks tidspunkter derefter. Ved begyndelsen af reaktionen, er der ingen X til stede, hvorimod der ved 100 sekunder, er blevet genereret 20 picomol.

Hældningen af denne linje, repræsenterer hastigheden hvorved mængden af X ændres:

Hvad denne værdi betyder, er at mængden af X forøges med 0,2 pmol hvert sekund i varigheden af assayet (fra 0 til 100 sekunder).

Endvidere er det muligt at skrive ligningen for denne linje, fordi vi både kender hældningen, der er 0,2 og skæringspunktet med y-aksen, der er 0:

eller blot:

Hældningen på 0,2 er proportionalitetskonstanten og y varierer direkte med x. Husk desuden at i ligningen har ”0,2” enheden ”pmol/sekund” og skæringspunktet med y-aksen har enheden ”pmol”. Derfor er alle enhederne i ligningen kongruent ”pmol”:

Antag, at assayet imidlertid ikke overvåger dannelsen af produktet, men forsvinden af reaktanten. I dette tilfælde kvantificerer instrumentet A snarere end X på forskellige tidspunkter. For eksempel, viser den af der ved begyndelsen af reaktionen, er 100 picomol A i reaktionsblandingen, hvorimod der efter 100 sekunder er 80 picomol tilbage.

Hældningen af denne linje, repræsenterer hastigheden ved hvilken mængden af A ændres:

Hvad denne værdi betyder er, at mængden af A falder med 0,2 pmol hvert sekund i varigheden af assayet (0 til 100 sekunder).

Ligesom i det foregående assay, er det muligt at skrive ligningen for denne linje, fordi vi kender både hældningen, der er -0,2 og skæringspunktet med y-aksen, der er 100:

Værdien ”-0,2” i ligningen har enheden ”pmol/sekund” og skæringspunktet med y-aksen har enheden ”pmol”. Derfor er alle enhederne i ligningen kongruent ”pmol”:

Dette eksempel illustrerer, at hældningen kan være negativ (og at grafen ikke behøver at starte ved en værdi på ”0”). I dette tilfælde, er der to variabler, som bevæger sig i modsatte retninger, men ikke desto mindre, stadig proportionalt.

Snarere end ændringer i mængden af produkt eller reaktant, kan et assay overvåge ændringen i koncentrationen. Kig for eksempel på følgende graf over hypotetiske data for den samme reaktion som tidligere A → X.

Ved begyndelsen af reaktionen, er der ikke noget X i reaktionsblandingen, hvorimod der ved 100 sekunder er 600 ng/mL til stede af X. Hældningen af denne linje, repræsenterer hvor hurtigt koncentrationen af X ændres:

Hvad denne værdi betyder er, at koncentrationen af X stiger med 6 ng/mL hvert sekund. Fordi hældningen er 6 og skæringspunktet med y-aksen er 0, er ligningen for linjen:

eller

Proportionalitetskonstanten er ”6 ng/mL/sekund” og y varierer direkte med x. Alle enheder i denne ligning er kongruente:

Back to Top